九章算术

，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。

    宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。

    以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。

    〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之，当径四步一百五十七分步之一百二十二也。

    淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕问为田几何？答曰：二亩五十五步。

    〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。

    淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。

    〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。

    〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。

    淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径八步一百七十六分步之一十三。〕问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。

    〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。

    淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。

    〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕

    《卷三》

    《卷三》作者：张苍

    ○衰分（以御贵贱禀税）衰分〔衰分，差也。〕术曰：各置列衰；〔列衰，相与率也。重叠，则可约。〕副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。

    〔法集而衰别。数，本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适足相消，故所分犹存，且各应率而别也。于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数。又以经分言之，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。

    今此术先乘而后除也。〕不满法者，以法命之。

    今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪袅得一鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。

    术曰：列置爵数，各自为衰。

    〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪袅三，上造二，公士一也。《墨子·号令篇》以爵级为赐，然则战国之初有此名也。〕副并为法。以五鹿乘未并者各自为实。实如法得一鹿。

    〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿数为所有数，而今有之，即得。〕今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升之四；马主出一斗四升七分升之二；羊主出七升七分升之一。

    术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。

    〔淳风等按：此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之四十一；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。

    术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。

    〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕今有女子善织，日自倍，五日织五尺。问日织几何？答曰：初日织一寸三十一分寸之十九；次日织三寸三十一分寸之七；次日织六寸三十一分寸之十四；次日织一尺二寸三十一分寸之二十八；次日织二尺五寸三十一分寸之二十五。

    术曰：置一、二、四、八、十六为列衰，副并为法。以五尺乘未并者，各自为实。实如法得一尺。

    今有北乡算八千七百五十八，西乡算七千二百三十六，南乡算八千三百五十六。凡三乡发徭三百七十八人。欲以算数多少衰出之，问各几何？答曰：北乡遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百三十七；西乡遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四；南乡遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九。

    术曰：各置算数为列衰，〔淳风等按：三乡算数，约，可半者，为列衰。〕副并为法。以所发徭人数乘未并者，各自为实。实如法得一人。

    〔按：此术，今有之义也。〕今有禀粟，大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无粟，欲以衰出之，问各几何？答曰：大夫出一斗四分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗之一。

    术曰：各置所禀粟斛，斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五斗，得二十以为法。以五斗乘未并者，各自为实。实如法得一斗。

    〔禀前五人十五斗者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来大夫已得五斗，故言亦也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。〕今有禀粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，问各几何？答曰：三人，人得一斛一斗五升十三分升之五；二人，人得七斗六升十三分升之十二。

    术曰：置三人，人三；二人，人二，为列衰。副并为法。以五斛乘未并者各自为实。实如法得一斛。

    反衰术曰：列置衰而令相乘，动者为不动者衰。

    今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共出百钱。欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十；簪袅出一十四钱一百三十七分钱之八十二；上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。