九章算术

令如母而一。

    〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。

    又按：此术“开方”者，求方幂之面也。借一算者，假借一算，空有列位之名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之超一等”者，方十自乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位，至百而言十，至万而言百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除，如是，当复步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。〕今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。

    〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。

    淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

    〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

    淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

    〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周，犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多。

    淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕今有积一百八十六万八百六十七尺，〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

    又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

    又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答曰：三十九尺八分尺之七。

    又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？答曰：一百二十四尺太半尺。

    开立方〔立方适等，求其一面也。〕术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

    〔言千之面十，言百万之面百。〕议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

    〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕除已，三之为定法。

    〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕复除，折而下。

    〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，折下一等也。〕以三乘所得数，置中行。

    〔设三廉之定长。〕复借一算，置下行。

    〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕步之，中超一，下超二等。

    〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，故又降一等也。〕复置议，以一乘中，〔为三廉备幂也。〕再乘下，〔令隅自乘，为方幂也。〕皆副以加定法。以定法除。

    〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕除已，倍下，并中，从定法。

    〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

    〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

    〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母，为法，以报除也。〕若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

    〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。

    按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。

    “议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法，以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。〕今有积四千五百尺。

    〔亦谓立方之尺也。〕问为立圆径几何？答曰：二十尺。

    〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？答曰：一万四千三百尺。

    〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径。

    〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。

    置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。