九章算术

    〔余，中禾一位之实也。故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。〕求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。

    〔此右行三禾共实，合三位之实。故以二位秉数约之，乃得一秉之实。今中下禾之实其数并见，令乘右行之禾秉以减之。故亦如前各求列实，以减下实也。〕余，如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

    〔三实同用，不满法者，以法命之。母、实皆当约之。〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。

    术曰：如方程。损之曰益，益之曰损。

    〔问者之辞虽？今按：实云上禾七秉，下禾二秉，实一十一斗；上禾二秉，下禾八秉，实九斗也。“损之曰益”，言损一斗，余当一十斗；今欲全其实，当加所损也。“益之曰损”，言益实以一斗，乃满一十斗；今欲知本实，当减所加，即得也。〕损实一斗者，其实过一十斗也；益实一斗者，其实不满一十斗也。

    〔重谕损益数者，各以损益之数损益之也。〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰上禾一秉实二十五分斗之九。中禾一秉实二十五分斗之七。下禾一秉实二十五分斗之四。

    术曰：如方程。各置所取。

    〔置上禾二秉为右行之上，中禾三秉为中行之中，下禾四秉为左行之下，所取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物皆依此例。〕以正负术入之。

    正负术曰：〔今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以邪正为异。

    方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤、黑相消夺之，于算或减或益。同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉。著此二条，特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率。然则其正无入以负之，负无入以正之，其率不妄也。〕同名相除，〔此谓以赤除赤，以黑除黑，行求相减者，为去头位也。然则头位同名者，当用此条，头位异名者，当用下条。〕异名相益，〔益行减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。故赤用黑对则除，黑；无对则除，黑；黑用赤对则除，赤；无对则除，赤；赤黑并于本数。此为相益之，皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。

    术本取要，必除行首。至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异而一也。〕正无入负之，负无入正之。

    〔无入，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实，而行中正负杂者亦用此条。此条者，同名减实，异名益实，正无入负之，负无入正之也。〕其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

    〔此条异名相除为例，故亦与上条互取。凡正负所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中虽复赤黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名。此条之实兼通矣，遂以二条反覆一率。观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又，本设诸行，欲因成数以相去耳。故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也。〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉五升。下禾一秉二升。

    术曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。

    〔言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。故互其算，令相折除，以一斗一升为差。为差者，上禾之余实也。〕次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术入之。

    〔按：正负之术，本设列行，物程之数不限多少，必令与实上下相次，而以每行各自为率。然而或减或益，同行异位，殊为二品，各自并、减，之差见于下也。〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八升。下禾一秉实三升。

    术曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次，上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。以正负术入之。

    〔言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余是与下禾十秉相当之数。故亦互其算，而以一斗八升为差实。差实者，上禾之余实。〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉实八斗。下禾一秉实三斗。

    术曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。以正负术入之。

    〔言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也。故亦互其算，而以六斗为差实。差实者，下禾之余实。〕今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？答曰：牛一直金一两二十一分两之一十三。羊一直金二十一分两之二十。

    术曰：如方程。

    〔假令为同齐，头位为牛，当相乘。右行定，更置牛十，羊四，直金二十两；左行：牛十，羊二十五，直金四十两。牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使之然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也。以小推大，虽四五行不异也。〕今有卖牛二，羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三，豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊，八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？答曰牛价一千二百。羊价五百。豕价三百。

    术曰：如方程。置牛二，羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负。以正负术入之。

    〔此中行买、卖相折，钱适足，故但互买卖算而已。故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣。故注曰正无实负，负无实正，方为类也。方将以别实加适足之数与实物作实。

    盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九，白银一十一，称之重适等。

    交易其一，金轻十三两。问金、银一枚各重几何？”与此同。〕今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？答曰：雀重一两一十九分两之一十三。

    燕重一两一十九分两之五。

    术曰：如方程。交易质之，各重八两。

    〔此四雀一燕与一雀五燕衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数。左行头位其数有一者，令右行遍除。亦可令于左行而取其法、实于左。左行数多，以右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动。左上空，中法，下实，即每枚当重宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀、四燕重相当。雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也，即其数也。〕今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。

    问甲、乙持钱各几何？答曰：甲持三十七钱半。乙持二十五钱。

    术曰：如方程。损益之。

    〔此问者言一甲，半乙而五十；太半甲，一乙亦五十也。各以分母乘其全，内子。行定：二甲，一乙而钱一